Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение .

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

2) Из полученного равенства выразить y через x:

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — . Графиком линейной функции является . Для построения прямой берём две точки.

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой ).

Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — . На промежутке $

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$:

\ \

Выбираем подходящие $x$:

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

    Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

    Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

    Находим подходящие значения $x$

    Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

    Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

    Находим подходящие значения $x$

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

    Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

    Находим подходящие значения $x$

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид